Un nombre n'est pas rare parce qu'un serveur l'a décidé : il est rare parce qu'il est rare. Ces 65 propriétés sont celles que le moteur du jeu sait reconnaître, et leur cumul détermine la valeur d'un nombre. Chacune est accompagnée d'une démonstration calculée sur le plus petit nombre qui l'illustre.
Ce qui touche aux nombres premiers, à leurs voisinages et à leurs formes particulières.
Un premier p tel que p² divise 2^(p−1) − 1. On n'en connaît que deux sous 10^17, et l'on ignore s'il en existe une infinité.
Exemple. 1093 est premier, et 1093² divise 2^(1093−1) − 1. Seuls 1093 et 3511 réussissent cela sous 10¹⁷.
De la forme 2^(2^k)+1. Fermat pensait qu'ils étaient tous premiers. Fermat avait tort.
Exemple. 3 = 2¹ + 1, et 1 = 2⁰
Un premier de la forme 2^p − 1. Aristocratie absolue.
Exemple. 3 = 2² − 1, et 2 est premier
Reste premier quand on lui arrache ses chiffres de droite, un par un.
Exemple. 23 → 2 — tous premiers
Premier à l'endroit, premier à l'envers, et pas le même. (« prime » retourné.)
Exemple. 13 et 31 sont premiers tous les deux
Toutes les permutations de ses chiffres sont premières. 337, 373, 733 : tous premiers.
Exemple. 13, 31 — toutes premières
Reste premier quand on lui arrache ses chiffres de gauche, un par un.
Exemple. 13 → 3 — tous premiers
Indivisible. Une brique de l'univers.
Exemple. 2 n'est divisible que par 1 et par 2. Rien d'autre ne le découpe.
Un premier p tel que 2p+1 est premier aussi. Elle publiait sous un faux nom d'homme pour être lue.
Exemple. 2 est premier, et 2 × 2 + 1 = 5 l'est aussi
Un premier p tel que (p−1)/2 soit premier aussi. Le miroir de Sophie Germain, et la clé de voûte de la cryptographie Diffie-Hellman.
Exemple. 5 est premier, et (5 − 1) / 2 = 2 l'est aussi
Produit d'exactement trois premiers distincts.
Exemple. 30 = 2 × 3 × 5 — trois premiers, tous différents
Un premier à distance 2 d'un autre premier. On ignore encore s'il y en a une infinité.
Exemple. 3 et 5 sont premiers, à 2 d'écart
Un premier à distance 4 d'un autre premier. Entre les jumeaux (2) et les sexy (6), il fallait bien quelqu'un.
Exemple. 3 et 7 sont premiers, à 4 d'écart
Vrai terme mathématique, désolé. Deux premiers séparés par 6 — « sex » signifie six en latin.
Exemple. 5 et 11 sont premiers, à 6 d'écart
Un premier de la forme 4k+1. Fermat a montré qu'ils sont exactement ceux qui s'écrivent comme somme de deux carrés.
Exemple. 5 = 4 × 1 + 1, et 5 = 1² + 2²
Produit de deux premiers, exactement. Toute la cryptographie tient là-dessus.
Exemple. 4 = 2 × 2
Ce qu'un nombre devient quand on le décompose, et ce que la somme de ses diviseurs raconte.
Égal à la somme de ses diviseurs propres. Il n'en existe que quatre sous 10 000.
Exemple. 6 = 1 + 2 + 3
Abondant, mais jamais somme exacte d'un sous-ensemble de ses diviseurs. Le premier est 70. Personne ne sait s'il en existe d'impairs.
Exemple. Ses diviseurs propres totalisent 74, donc plus que 70 — pourtant aucune de leurs combinaisons ne fait exactement 70.
Il a une âme sœur : chacun est la somme des diviseurs propres de l'autre.
Exemple. diviseurs propres de 220 → 284, et diviseurs propres de 284 → 220
Produit de tous les premiers consécutifs à partir de 2.
Exemple. 2 = 2 (tous les premiers jusqu'à 2)
Il a plus de diviseurs que tout nombre plus petit que lui. Un carrefour.
Exemple. 2 possède 2 diviseurs. Aucun entier plus petit que lui n'en a autant.
Puissant sans être une puissance : chaque facteur premier y est au carré au moins, et pourtant il n'est ni carré, ni cube, ni rien. Fort mais vulnérable.
Exemple. 72 = 2³ × 3² — tous les exposants valent 2 ou plus, et pourtant 72 n'est aucune puissance exacte
Tout entier plus petit que lui s'écrit comme une somme de ses diviseurs. Fibonacci s'en servait pour décomposer les fractions.
Exemple. Tout entier de 1 à 1 s'écrit comme une somme de diviseurs distincts de 2, qui en compte 2.
Si un premier le divise, son carré le divise aussi. Aucun facteur ne s'y promène seul.
Exemple. 4 = 2² — aucun exposant ne vaut 1
Ses diviseurs propres dépassent sa propre valeur. Gourmand.
Exemple. 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12
Ses diviseurs propres ne suffisent pas à l'atteindre. La majorité silencieuse.
Exemple. Un premier n'a qu'un seul diviseur propre — 1 — et 1 est très loin de 2. Les premiers sont les plus déficients de tous.
Aucun carré ne le divise. Trois nombres sur cinq sont dans ce cas.
Exemple. 2 = 2 — aucun facteur répété
Les nombres qui s'empilent en formes : triangles, carrés, pyramides.
Un entier au cube. Solide.
Exemple. 8 = 2³
La monnaie officielle des ordinateurs.
Exemple. 2 = 2¹
Un entier au carré. Rassurant.
Exemple. 4 = 2²
Un empilement de triangles. La version en volume des nombres triangulaires.
Exemple. 4 = 1 + 3 + 6 + … (2 étages triangulaires)
Un empilement de carrés. 4900 est le seul, hormis 1, à être lui-même un carré — le fameux problème des boulets de canon.
Exemple. 5 = 1² + 2² + … + 2²
On peut l'empiler en triangle. 1, 3, 6, 10, 15…
Exemple. 3 = 1 + 2
Même idée, mais en pentagone.
Exemple. 5 = 2 × (3 × 2 − 1) / 2
On peut l'empiler en hexagone. Tout hexagonal est aussi triangulaire.
Exemple. 6 = 2 × (2 × 2 − 1)
Les termes de suites célèbres, croisés au détour d'un tirage.
Compte les façons de parenthéser, trianguler, arboriser. Il surgit partout en combinatoire.
Exemple. 2 = C₂
Le produit de tous les entiers jusqu'à un certain point. Croît de façon indécente.
Exemple. 2 = 2! = 1 × 2
Compte les façons de partitionner un ensemble. 5 objets se rangent de 52 manières.
Exemple. 2 compte les façons de répartir 2 objets en groupes, sans en laisser aucun dehors.
Compte les façons de relier des points sur un cercle par des cordes qui ne se croisent pas. Le cousin discret de Catalan.
Exemple. 2 compte les façons de tracer des cordes qui ne se croisent pas entre des points d'un cercle.
La somme des deux précédents. Les lapins, les tournesols, les spirales.
Exemple. 2 = 1 + 1
Chaque terme vaut deux fois le précédent plus celui d'avant. Ses rapports approchent la racine de deux.
Exemple. Terme initial de la suite.
Le cousin discret de Fibonacci : même règle, autre départ.
Exemple. Terme initial de la suite (elle démarre sur 2, 1).
Ce qui ne dépend pas du nombre mais de son écriture décimale — donc de notre choix d'avoir dix doigts.
Égal à la somme de ses chiffres élevés à eux-mêmes. Comme le baron, il se soulève par ses propres bottes. Il n'en existe que deux.
Exemple. 3435 = 3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵
Ajoutez-lui son miroir, recommencez : tout le monde finit palindrome, sauf lui. Plus d'un milliard d'itérations n'ont rien donné, et personne n'a su le démontrer.
Exemple. 196 → 887 → 1675 → 7436 → 13783 → … : plus d'un milliard d'étapes, toujours pas de palindrome
Égal à la somme de ses chiffres élevés à la puissance de leur nombre. Il se suffit à lui-même.
Exemple. 153 = 1³ + 5³ + 3³
Cube de la somme de ses propres chiffres. Six exemplaires connus, tous sous 20 000.
Exemple. 5 + 1 + 2 = 8, et 8³ = 512
Son carré se termine par lui-même. 76² = 5776.
Exemple. 5² = 25, qui se termine par 5
Amorcez une suite de Fibonacci avec ses chiffres : elle retombe exactement sur lui.
Exemple. 1 → 4 → 5 → 9 → 14 — la suite part de ses chiffres et retombe sur 14
Son carré peut être coupé en deux morceaux qui, additionnés, le reforment. 45² = 2025, 20 + 25 = 45.
Exemple. 9² = 81, et 8 + 1 = 9
Le même chiffre, encore et encore. Hypnotique.
Exemple. Le chiffre 1 répété 2 fois.
Se lit pareil dans les deux sens.
Exemple. 11 se lit 11 dans l'autre sens.
Deux chiffres qui alternent sans fin. 1717, 2020, 45454.
Exemple. 1 et 0 alternent sur 3 chiffres.
La somme de ses chiffres égale celle des chiffres de ses facteurs premiers.
Exemple. 4 = 4 — et 4 = 2 × 2, dont les chiffres font 2 + 2 = 4
Divisible par le produit de ses propres chiffres.
Exemple. 1 × 1 = 1, et 11 = 1 × 11
Additionnez le carré de ses chiffres, recommencez : vous finissez sur 1. Sinon vous bouclez à jamais sur 4.
Exemple. 7 → 49 → 97 → 130 → 10 → 1 (somme des carrés des chiffres, jusqu'à tomber sur 1)
Aucun nombre, augmenté de la somme de ses chiffres, ne le produit. Il n'a pas de générateur : il ne descend de personne.
Exemple. Aucun entier augmenté de la somme de ses chiffres ne donne 3 : il n'a pas de générateur.
Divisible par la somme de ses propres chiffres. « Joie » en sanskrit.
Exemple. À un seul chiffre, la somme vaut le nombre lui-même : 2 se divise par 2. Tous les chiffres sont Harshad, c'est le seul cas gratuit.
Les cas isolés, ceux qui n'appartiennent à aucune famille et qu'on a nommés pour eux-mêmes.
Le plus petit nombre exprimable de deux façons comme somme de deux cubes. Ramanujan l'a sorti depuis un lit d'hôpital, en parlant d'un taxi.
Exemple. 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³
Presque tout nombre à quatre chiffres finit ici si on le triture assez longtemps. Un trou noir arithmétique.
Exemple. 7641 − 1467 = 6174 (chiffres triés en décroissant moins croissant : 6174 se redonne lui-même)
Produit de deux « crocs » formés de ses propres chiffres. 1260 = 21 × 60.
Exemple. 1260 = 21 × 60 — les chiffres des deux facteurs sont exactement ceux de 1260
Composé, mais il réussit le test de primalité de Fermat pour toute base. Un menteur absolu — 1729 en fait partie.
Exemple. 561 = 3 × 11 × 17 — composé, et pourtant a^561 ≡ a pour tout a. Un faux premier parfait.
Euler s'en servait pour repérer les grands premiers. Il en a trouvé 65 et personne n'en a jamais trouvé un 66ᵉ.
Exemple. 2 fait partie des 65 nombres idoines d'Euler. Il n'y en a probablement pas d'autre, mais nul ne l'a démontré.
Survivant d'un crible qui raye un nombre sur deux, puis un sur trois, et ainsi de suite. Il en reste à peu près autant que de premiers.
Exemple. 3 a survécu au crible : on raye un nombre sur deux, puis un sur trois parmi les restants, puis un sur sept, et ainsi de suite.
Divisible par 2. Sans histoires.
Exemple. 2 = 2 × 1
Non divisible par 2. Légèrement rebelle.
Exemple. 3 = 2 × 1 + 1 — il reste toujours 1