L'écriture des nombres
Un nombre et son écriture sont deux choses différentes, et on les confond sans cesse. Douze cailloux restent douze cailloux qu'on les note 12, XII, 1100 ou une double poignée. Mais beaucoup de propriétés dont on s'émerveille (palindromes, nombres narcissiques, chiffres qui se répètent) ne portent pas sur la quantité : elles portent sur la notation. Elles ne disent rien du nombre ; elles disent que nous avons dix doigts.
La numération de position
Dans 3407, le 3 ne vaut pas trois : il vaut trois mille. La valeur d'un chiffre dépend de sa place, et c'est cette convention, et non les chiffres eux-mêmes, qui constitue l'invention.
3407 = 3×1000 + 4×100 + 0×10 + 7×1
Elle rend certaines questions triviales. Combien de dizaines entières dans 3407 ? On lit les chiffres à partir des centaines : 340. Il n'y a rien à calculer, seulement à ignorer le dernier chiffre : c'est la division par 10 rendue gratuite par la notation. Quel est le plus petit nombre à quatre chiffres ? 1000, puisqu'il faut un 1 devant et le minimum partout ailleurs. Le plus grand à cinq chiffres ? 99999.
Ces évidences n'en sont une qu'à l'intérieur du système. Essayez de dire, en chiffres romains, quel est le plus grand nombre à cinq signes : la question n'a pas de sens, parce que la position n'y signifie rien.
Le prix à payer se voit à la retenue. 999 + 1 oblige à propager un report sur quatre rangs d'affilée : le 9 des unités devient 0 et pousse, celui des dizaines aussi, celui des centaines aussi, et un 1 apparaît enfin devant. 1000. C'est trivial sur le papier et redoutable en mécanique : quand Blaise Pascal construit sa machine à calculer en 1642, à dix-neuf ans, pour soulager son père qui recense les impôts de Rouen, l'essentiel de son invention est le sautoir, un poids qui tombe et entraîne la roue suivante, capable d'enchaîner les reports en cascade sans coincer.
Dans le jeu : Nouer par dix (acte 1) · Le rien qui compte (acte 3) · Fabriquer ce qui manque (acte 3) · La retenue se propage (acte 5)
Le zéro, et les zéros qu'on trouve au bout
Il faut distinguer deux zéros. Le premier est un marqueur de case vide : il dit qu'il n'y a rien dans la colonne des dizaines, et les scribes babyloniens en usaient déjà. Le second est un nombre, avec lequel on calcule, qu'on additionne et qu'on soustrait. C'est celui-là qui est tardif.
Brahmagupta, en 628, est le premier à en poser les règles par écrit : un nombre moins lui-même donne zéro, un nombre plus zéro ne change pas. Il se risque aussi à la division par zéro, où il se trompe, mais poser la question était déjà considérable.
Ce dont on doute. Le manuscrit de Bakhshali porte des points qui semblent tenir ce rôle, et une datation au carbone publiée en 2017 en attribue les feuillets les plus anciens aux IIIe–IVe siècles. Le résultat est contesté : le manuscrit est composite, ses feuillets n'ont pas le même âge, et rien ne garantit que le texte écrit soit contemporain du support.
Compter les zéros finaux d'un produit revient à compter ses facteurs 10, c'est-à-dire ses paires (2, 5). Prenez 10 × 20 × 30 × 40 × 50 : chaque terme donne un 10, soit cinq déjà, et il reste 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120, qui en fournit un sixième.
10 × 20 × 30 × 40 × 50 = 120 × 10⁵ = 12 000 000 → 6 zéros
Le même raisonnement dit combien de zéros terminent une factorielle sans jamais la calculer : dans 100!, les facteurs 5 sont plus rares que les 2, on les compte donc seuls : vingt multiples de 5, plus quatre multiples de 25 qui en apportent un second, soit vingt-quatre zéros.
Dans le jeu : Le nombre qui n’était rien (acte 3)
Changer de base
Rien n'oblige à grouper par dix. En base deux, les colonnes valent 1, 2, 4, 8, 16 au lieu de 1, 10, 100 :
1011₂ = 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 11
Le nombre n'a pas changé ; seule son écriture a changé. Et c'est là que beaucoup de propriétés s'évaporent. 11 s'écrit 11 en base dix : c'est un palindrome, et un repdigit. En base deux il s'écrit 1011, qui n'est ni l'un ni l'autre. La propriété n'appartenait pas au nombre.
Le tri se fait vite si l'on se demande : cette propriété survivrait-elle à un changement de base ? Être premier, parfait, carré, triangulaire : oui, ce sont des faits de quantité. Être palindrome, narcissique, repdigit, de Kaprekar, harshad : non, ce sont des faits de notation. Les deux familles sont également amusantes, mais elles ne parlent pas de la même chose, et il vaut mieux savoir laquelle on regarde.
Le cas de la base soixante mérite un mot. Les scribes babyloniens comptaient ainsi, et nous en avons hérité les heures, les minutes et les degrés. Ce n'est pas un caprice : 60 se divise par 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 et 30, quand 10 ne se divise que par 2 et 5. Un tiers d'heure est un nombre entier de minutes ; un tiers de mètre n'est pas un nombre entier de centimètres.
Dans le jeu : Onze de deux façons (acte 3)
Doubler, et les puissances de deux
Partez de 1 et doublez dix fois : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. C'est 2¹⁰, et c'est la raison pour laquelle un kilo-octet en vaut 1024 plutôt que 1000, la puissance de deux la plus proche du millier.
Doubler douze fois donne 4096 : 2¹² = 4096. Doubler huit fois donne 256, et ce nombre-là a une lecture concrète. Une carte perforée à huit emplacements, chacun percé ou non, admet 256 configurations : deux choix indépendants répétés huit fois. C'est le principe du métier à tisser de Joseph-Marie Jacquard, présenté en 1804, où la chaîne de cartes décrit le motif à tisser. Un demi-siècle plus tard, Ada Lovelace écrira que la machine analytique de Babbage « tisse des motifs algébriques comme le métier Jacquard tisse des fleurs » : la comparaison n'est pas une image, c'est une filiation technique.
Les exposants s'additionnent quand les puissances se multiplient :
10³ × 10⁴ = 10³⁺⁴ = 107
Cette règle, évidente une fois écrite, est le fondement des logarithmes. Si multiplier revient à additionner des exposants, alors une table qui donne l'exposant de chaque nombre transforme toute multiplication en addition. C'est ce que publie John Napier en 1614, après vingt ans de calculs. Kepler s'en saisit aussitôt pour ses tables astronomiques ; on a pu dire que les logarithmes, en abrégeant les calculs, avaient doublé la vie des astronomes.
Dans le jeu : Doubler dix fois (acte 1) · Multiplier en additionnant (acte 4) · Le tissu qui se souvient (acte 6) · Deux règles qui glissent (acte 4)
Compter les palindromes
Combien existe-t-il de palindromes de trois chiffres exactement ? On ne les énumère pas, on décrit leur fabrication. Un tel nombre s'écrit aba : il faut choisir a, puis b, et le troisième chiffre est imposé.
a ∈ {1…9} → 9 choix b ∈ {0…9} → 10 choix 9 × 10 = 90
Le premier chiffre ne peut pas être 0, sans quoi le nombre n'aurait pas trois chiffres ; le dernier ne se choisit pas, puisqu'il doit égaler le premier. Le compte est donc de 90, et non de 900, ce qui serait le nombre total d'entiers à trois chiffres. Un sur dix est un palindrome à cette longueur, et la proportion s'effondre ensuite : à six chiffres, il n'y en a que 900 sur 900 000, soit un sur mille.
La méthode vaut mieux que le résultat. Compter en décrivant une construction (un choix, puis un autre, les contraintes retirant des possibilités) est le geste de base du dénombrement, et c'est le même qui donne 256 cartes perforées ou 36 lancers de deux dés.
Dans le jeu : Se lire dans les deux sens (acte 3)
La constante 6174
Prenez un nombre de quatre chiffres qui ne soient pas tous identiques. Rangez ses chiffres en ordre décroissant, puis en ordre croissant, et soustrayez. Repartez du résultat. Avec 3524 :
5432 − 2345 = 3087
8730 − 0378 = 8352
8532 − 2358 = 6174
7641 − 1467 = 6174
La suite se fige sur 6174 et n'en bouge plus. Ce qui est remarquable, c'est que cela n'a rien à voir avec 3524 : tout nombre de quatre chiffres non tous égaux y arrive, et en sept étapes au maximum. 6174 est appelée la constante de Kaprekar, du nom de Dattatreya Ramchandra Kaprekar, instituteur à Devlali en Inde, qui la présente en 1949.
Le résultat se démontre, sans élégance mais sans mystère : la soustraction ne dépend que des quatre chiffres réarrangés, il n'y a donc qu'un nombre fini de cas à examiner (715 groupes de chiffres possibles), et l'on vérifie que tous convergent. C'est une preuve par épuisement, du même genre que celles qu'on confie aujourd'hui aux machines.
Le procédé dépend entièrement de la base dix : en base deux ou en base seize, la constante n'est pas la même, et pour les nombres à trois chiffres c'est 495 qui joue ce rôle. À cinq chiffres, il n'existe aucune constante : la suite tombe dans des cycles. Autrement dit, 6174 n'est pas une propriété des nombres : c'est une propriété de notre manière de les écrire.
Dans le jeu : Le trou noir (acte 6)