Compter les possibilités
Le hasard a mis longtemps à devenir calculable. On jouait aux dés depuis des millénaires sans que personne songe à demander combien de fois sur cent : la question paraissait sans objet, puisque l'issue était par définition imprévisible. Il a fallu comprendre que l'imprévisible d'un coup devient régulier sur mille, et que cette régularité se compte. Tout part de là : dénombrer les cas possibles.
Les factorielles
De combien de façons ranger six livres sur une étagère ? Il y a six candidats pour la première place ; une fois celui-là posé, cinq pour la deuxième ; puis quatre, trois, deux, un.
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
On note ce produit 6! et on l'appelle factorielle. Sa croissance est féroce : 10! dépasse trois millions, 20! dépasse deux milliards de milliards, et 70! dépasse déjà le nombre estimé d'atomes dans l'univers observable. C'est pourquoi tant de problèmes « qu'il suffit d'essayer tous les cas » sont hors de portée de toute machine : il n'y a pas assez de matière dans l'univers pour écrire la liste.
Par convention 0! = 1, ce qui a l'air arbitraire mais ne l'est pas : il existe exactement une façon de ne rien ranger, la façon vide. Cette convention est celle qui rend toutes les formules du dénombrement valables sans cas particulier.
La notation « ! » est due à Christian Kramp, en 1808. Avant lui, on écrivait ce produit avec des symboles variés et encombrants ; le point d'exclamation s'est imposé parce qu'il tenait sur une ligne d'imprimerie.
Dans le jeu : Toutes les façons de ranger (acte 4)
Choisir sans tenir compte de l’ordre
De combien de façons choisir 2 objets parmi 5, quand l'ordre est indifférent ? Comptez d'abord en tenant compte de l'ordre : 5 possibilités pour le premier, 4 pour le second, soit 20. Mais chaque paire a été comptée deux fois, puisque « le troisième puis le cinquième » et « le cinquième puis le troisième » sont le même choix. Il faut donc diviser par 2 :
(5 × 4) / 2 = 10
La règle générale suit le même raisonnement : pour choisir k objets parmi n, on compte les arrangements ordonnés puis on divise par le nombre de façons de réordonner les k élus.
C(n, k) = n! / ( k! × (n − k)! )
Ces nombres se lisent dans le triangle de Pascal, où chaque case est la somme des deux qui la surplombent. La ligne 5 donne 1, 5, 10, 10, 5, 1, dont le troisième terme est notre 10. La règle d'addition qui fabrique le triangle a une traduction directe : pour choisir 2 objets parmi 5, ou bien on prend le cinquième et il reste 1 à choisir parmi 4, ou bien on ne le prend pas et il faut 2 parmi 4. D'où 4 + 6 = 10.
Le triangle n'est pas de Pascal, qui en compose le traité en 1654, publié seulement après sa mort, en 1665. Il figure chez Zhu Shijie en Chine en 1303, chez al-Karaji à Bagdad vers l'an mille, et chez Pingala en Inde plus tôt encore. Pascal lui donne son exposition systématique et ses applications au hasard ; l'objet lui préexiste de plusieurs siècles.
Dans le jeu : Partager une partie interrompue (acte 5)
Le problème des partis
En 1654, Antoine Gombaud, chevalier de Méré, joueur et homme de lettres, soumet à Pascal une question qui traîne depuis deux siècles. Deux joueurs misent à parts égales ; le premier qui gagne un certain nombre de manches emporte tout. La partie est interrompue avant la fin. Comment partager l'enjeu ?
Les réponses admises jusque-là étaient des règles de proportion : au prorata des manches gagnées, par exemple. Pascal et Fermat, dans une correspondance de quelques lettres, imposent une idée neuve. Le partage ne doit pas dépendre du passé, mais de l'avenir : chacun doit recevoir la part correspondant à sa probabilité de gagner si l'on jouait la partie jusqu'au bout.
Il faut alors dénombrer les continuations possibles, et c'est ici que le triangle de Pascal entre en scène : si trois manches suffisent à décider, les huit issues possibles se répartissent selon la ligne 1, 3, 3, 1. Le calcul devient une affaire de combinaisons.
Cette correspondance est généralement tenue pour l'acte de naissance de la théorie des probabilités. Ce qui la rend décisive n'est pas le résultat (le partage d'un enjeu de tripot), mais le déplacement : on cesse de traiter le hasard comme une opacité pour le traiter comme une structure qu'on peut compter. Trois ans plus tard, Huygens en tire le premier traité imprimé, et l'espérance y devient une grandeur qu'on calcule.
Deux dés, trente-six issues
Lancez deux dés qu'on distingue l'un de l'autre, disons un rouge et un bleu. Le rouge donne six résultats, le bleu six aussi, et les deux sont indépendants :
6 × 6 = 36 issues
Parmi elles, combien donnent une somme de 7 ? On les énumère : 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1, soit 6 issues, une chance sur six. C'est la somme la plus probable : 2 et 12 n'ont qu'une issue chacun, 7 en a six.
Toute la difficulté tient dans le mot distingue. Si l'on refuse de séparer le rouge du bleu, on ne compte plus 36 cas mais 21, et l'on est tenté de croire que chacun a la même chance : erreur, car « un et deux » se réalise de deux manières et « deux et deux » d'une seule. Les cas ne sont équiprobables que si l'on garde les dés distincts.
Galilée résout précisément cette confusion vers 1620, à la demande d'un protecteur qui s'étonnait qu'avec trois dés, le 10 sorte un peu plus souvent que le 9 alors que l'un et l'autre s'obtiennent par six combinaisons. Réponse : ces combinaisons ne se réalisent pas toutes du même nombre de façons. Vingt-sept manières pour 10, vingt-cinq pour 9 : l'écart est mince, et des joueurs l'avaient remarqué à l'usage avant que quiconque sache l'expliquer.
Dans le jeu : Deux dés, trente-six chemins (acte 5)
La moyenne, et ce qu’elle cache
La moyenne de 12, 15, 18 et 27 s'obtient en additionnant puis en partageant :
(12 + 15 + 18 + 27) / 4 = 72 / 4 = 18
C'est la valeur qu'auraient les quatre nombres s'ils étaient égaux sans que le total change : une redistribution, pas une description.
Elle est donc facile à mal lire. Ici, trois valeurs sur quatre sont inférieures à la moyenne, tirée vers le haut par le seul 27. C'est le mécanisme exact par lequel un revenu moyen renseigne si mal sur ce que gagnent les gens : quelques valeurs extrêmes déplacent la moyenne sans rien changer au sort du plus grand nombre. La médiane, la valeur qui coupe l'effectif en deux, vaut ici 16,5 et résiste à ces déformations.
Une moyenne ne devient parlante qu'accompagnée d'une mesure de dispersion : dire que l'écart va de 12 à 27 en apprend souvent plus que le 18. C'est vrai des salaires comme des tirages : une collection dont la rareté moyenne est honorable peut n'être qu'un tas de communes relevé par une seule pièce d'exception.
Dans le jeu : Pourquoi on a fait les tables (acte 4)